Разработке алгоритмов идентификации систем, удобных для реализации в инженерной практике, посвящено большое количество работ [1-10], но задача определения параметров объекта в процессе эксплуатации системы по-прежнему остается актуальной. Одним из подходов к решению подобных задач является возможность подавать на систему тестовые сигналы. Работы [11, 12] посвящены проектированию интервальных наблюдателей для линейных систем. Авторы работы [13] решают задачу идентификации линейных по параметрам моделей по малому числу наблюдений. В этом случае имеет место априорная неопределенность, которая может быть связана и с нарушением условий статистической устойчивости, и с плохой обусловленностью задачи из-за попадания интервалов измерений на участки установившихся режимов управляемого объекта. Входной сигнал задается таким образом, чтобы объект попеременно находился в переходном и установившемся режимах. В работе [14] рассматривается задача одновременного управления и оценивания параметров модели линейного многосвязного статического объекта при наличии аддитивных ограничений возмущений в замкнутой дискретной системе с регулятором, построенным на базе адаптивной модели такого объекта. В работах [15-24] поиск оптимального входного сигнала осуществляется на основе использования информационной матрицы Фишера. В данной работе рассматривается статический объект с матричным входом и зашумленным матричным выходом в следующем виде: , (1) где x - матричный входной сигнал размерности n × n; y - матричный выходной сигнал размерности n × n; v - гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ; - транспонирование; θ - параметр. По уравнению (1) с матричным входом и матричным выходом требуется определить параметры θ = [θij]. Для получения оценок параметров предлагается использовать рекуррентную процедуру метода наименьших квадратов. Рекуррентная процедура метода наименьших квадратов Оценка параметров θ = [θij]n × n для объекта (1) по измерениям вычисляется с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов [2]: (2) где (3) (4) Для ковариационной матрицы размера n × n принято использовать следующее выражение: (5) где N - число измерений; ковариационная матрица, вычисленная по результатам N измерений; XN определяется формулой (3). В рекуррентном виде для N + 1 измерения формулу (5) можно записать следующим образом: или (6) где PN + 1 - ковариационная матрица, вычисленная по результатам N + 1 измерений; х - матричный входной сигнал. Ниже приводится итерационный алгоритм определения неизвестных параметров: (7) (8) (9) где KN + 1 - матрица коэффициентов усиления размерности n × n; PN + 1 - ковариационная матрица размерности n × n, вычисленная по результатам N + 1 измерений. В работе [2] для объекта (1) приводится рекуррентный метод наименьших квадратов в случае, когда x - векторный вход и y - скалярный выход. В данной статье предложен алгоритм (7)-(9) для случая, когда при описании объекта (1) используется матричный входной сигнал x и матричный выходной сигнал y. Формулы (7)-(9) можно получить на основании нижеследующего утверждения. Лемма 1. Для матриц A, B, C размерами n × n, n × m и m × n соответственно справедливо выражение (10) Отметим, что формулу (9) можно получить из выражения (6) после применения формулы (10). Для этого необходимо осуществить замены: Оценка параметров на основе уравнений (2)-(4) имеет вид Выражая последнюю формулу через N и N + 1 измерения и применяя формулу (9), имеем Раскрывая скобки и применяя выражение (8), получим соотношение (7): В среде Simulink выполнено моделирование объекта, входных сигналов, а также алгоритма определения неизвестных параметров с использованием итерационной процедуры метода наименьших квадратов. Блоки, реализующие формирование итерационной процедуры метода наименьших квадратов, соответствуют формулам (7)-(9), которые находятся в составе алгоритма рекуррентного метода наименьших квадратов. Пример вычисления оценок параметров объекта Рассматривается статический объект второго порядка в следующем виде: (11) где x - матричный входной сигнал размерностью n × n; y - матричный выходной сигнал размерностью n × n; θ = [θij] - матрица оцениваемых параметров объекта; v - гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием m и дисперсией σ = 0,1. На вход подаются тестовые сигналы типа меандра с периодами: T = 6 (для первого входного сигнала), T = 12 (для второго входного сигнала), T = 14 (для третьего входного сигнала), T = 10 (для четвертого входного сигнала). Амплитуда равна единице для всех входных сигналов. На рис. 1 показаны входные сигналы для объекта (11). а б Рис. 1. Входные сигналы: U1, U2 (а); U3, U4 (б) По уравнению (11) с матричным входом и матричным выходом требуется определить параметры Моделирование выполнено при следующих базовых значениях: θ11 = 1,0; θ12 = 2,5; θ21 = 0,5; θ22 = 1,0. На рис. 2 представлены выходные сигналы. а б Рис. 2. Выходные сигналы Y11, Y21 (а); Y22, Y12 (б) На рис. 3. показан график шума, наблюдаемого на выходе объекта в одном из каналов. Рис. 3. Шум, наблюдаемый на выходе объекта в одном из каналов В качестве начального значения матрицы P выбрана матрица в виде P0 = [0.9, 0.2; 0.3, 1.0]. Для случая N = 50 измерений были получены следующие значения оцениваемых параметров: θ11 = 0,983 4; θ12 = 2,447; θ21 = 0,539 6; θ22 = 1,045. На рис. 4-6 приведены результаты моделирования для N = 50 измерений. Рис. 4. Оценки параметров θN Рис. 5. Поведение матрицы PN Рис. 6. Поведение коэффициента усиления KN При увеличении числа измерений до N = 200 были получены следующие значения оцениваемых параметров: θ11 = 0,995 4; θ12 = 2,493; θ21 = 0,504 4; θ12 = 1,014. Для числа измерений N = 50 были получены следующие значения: P11 = 0,009 336; P21 = -0,000 175 1; P21 = -0,000 165 9; P22 = - 0,008 461. При увеличении числа измерений до N = 200 значения элементов матрицы PN изменяются следующим образом: P11 = 0,002 452; P21 = 0,000 105 8; P21 = 0,000 106 4; P22 = 0,002 88. Отметим, что рекуррентные оценки параметров объекта сходятся к истинным значениям примерно за 70-80 шагов. Можно отметить и аналогичную сходимость значений KN, PN. Из результатов моделирования следует, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. На рис. 7 приведены результаты моделирования для случая, когда первый и второй входные сигналы имели период T = 4, а третий и четвертый входные сигналы имели период T = 8. Рис. 7. Оценки параметров θN (периоды T = 4 и T = 8) На рис. 8 приведены результаты моделирования для случая, когда период T = 8 для всех входных сигналов. Рис. 8. Оценки параметров θN для периода T = 8 у всех входных сигналов Анализируя графики, представленные на рис. 7 и 8, можно отметить плохое поведение рассматриваемой системы на начальном участке в случае, когда периоды имеют одинаковое значение у входных сигналов типа меандра. Заключение В данной работе показано применение рекуррентного метода наименьших квадратов для определения параметров статического объекта с матричным входом и матричным выходом. В качестве тестовых входных сигналов использовались сигналы типа меандра с единичной амплитудой. Продемонстрированы проблемы, которые возникают с выбором параметров тестовых входных сигналов. Результаты оценивания параметров объекта приведены для случая, когда на выходе объекта присутствуют гауссовские шумы. На примере объекта второго порядка построены графики оценок, полученных в ходе работы алгоритма. Отмечается быстрая сходимость оценок параметров к базовым значениям параметров объекта. Вычисления показывают, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. В дальнейшем предложенный подход предполагается использовать для оценивания параметров объектов более высокого порядка с различным количеством параметров.