Значения временного ряда формируются под воздействием большого количества различных показателей. Кроме факторов, определяющих долгосрочные тенденции, циклические и сезонные колебания, на динамику изучаемого признака могут оказывать влияние единовременные качественные изменения экономической ситуации, которые обычно вызваны событиями глобального характера, а также изменениями рыночной ситуации. Они приводят к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. В момент времени t* значительно изменяется влияние ряда факторов на изучаемый показатель. Возникает вопрос о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер тенденции изменения изучаемого показателя [1-4]. Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т. е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t* и после него) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии. Если структурные изменения незначительно влияли на характер тенденции ряда, то ее можно описать с помощью уравнения, единого для всей совокупности данных. Основная цель анализа структурных изменений во временных рядах заключается в обосновании выбора между единой моделью, построенной на всем рассматриваемом промежутке времени, и кусочной моделью, составленной из двух отдельных моделей, построенных на промежутках времени до t* и после. Каждая из представленных моделей обладает своими характерными особенностями. Очевидным преимуществом кусочной модели является ее большая гибкость, позволяющая более точно описывать исходные данные. Для простоты изложения предположим, что временной ряд не подвержен влиянию сезонных и циклических воздействий или их воздействие каким-либо образом оценено, а соответствующие компоненты исключены из временного ряда. Критерий Чоу Основные идеи этого критерия состоят в следующем. Пусть Т(t) - единая модель временного ряда. Предположим, что с момента времени t* наблюдаются структурные изменения в рассматриваемой экономической ситуации. Кусочная модель в этом случае может быть записана в следующем виде: где Т1(t) - модель временного ряда, построенная на промежутке до t*; Т2(t) - модель временного ряда, построенная на промежутке после t*. Будем считать, что модели Т(t), Т1(t) и Т2(t) имеют одинаковую структуру и поэтому характеризуются одним и тем же числом параметров k, N, N1, N2 - количество наблюдений, использованное для построения моделей Т(t), Т1(t), Т2(t) соответственно [1]. Использование критерия Чоу предполагает нахождение остаточной суммы квадратов, соответствующей кусочной модели, и остаточной суммы квадратов, соответствующей единой модели. Остаточная сумма квадратов, соответствующая кусочной модели, определяется следующим образом: , где ESS1 - остаточная сумма квадратов, соответствующая первой модели; ESS2 - остаточная сумма квадратов, соответствующая второй модели. Сокращение остаточной суммы квадратов при переходе от единой модели к кусочной может быть найдено как разность: . Проверка гипотезы о структурной стабильности проводится с помощью статистики Фишера (1) Если предполагается, что случайные ошибки независимы и распределены по нормальному закону, то статистика (1) распределена по закону Фишера с числами степеней свободы v1 = k и v2 = N - 2k. Если , где - критическое значение распределения Фишера для заданной вероятности ошибки α, то гипотеза не отвергается и для моделирования следует использовать кусочную модель. При гипотеза отвергается и следует предпочесть единую модель. Критерий Гуджарати Предположим, что с момента времени t* наблюдаются изменения характера тенденции временного ряда. Будем предполагать, что структура моделей Т1(t) и Т2(t) одинакова, т. е. , где fi(t) - известные регрессионные функции времени; , - неизвестные параметры [1, 5]. Проверка гипотезы о структурной стабильности основана на построении вспомогательного регрессионного уравнения Гуджарати (2) где Очевидно, что уравнение (2) при t < t* преобразуется к виду , а при t ≥ t* будет иметь вид . Проведя элементарные сопоставления параметров, получим . Следовательно, функции Т1(t) и Т2(t) не будут отличаться только в том случае, если . Таким образом, необходимо проверить гипотезы о значимости данных параметров, используя стандартные средства регрессионного анализа. Уровень значимости регрессора j можно проверить с помощью F-критерия, основанного на том, что статистика Вычисление RRSj производится следующим образом: , где ESS(j) - остаточная сумма квадратов вспомогательной регрессионной модели, которая отличается от исходной только отсутствием в ней независимой переменной fi(t). Вычисление ESS осуществляется по формуле . Если хотя бы один параметров окажется значимым, то гипотеза о структурной стабильности отвергается. Критерий Пуарье Критерий Пуарье основан на подходе сплайновой регрессии, набирающем популярность в последнее время [6-12]. В этом методе вводится понятие сетки. Сеткой называется произвольное множество точек абсцисс , где . При этом точки называют узлами. Говорят, что y является линейным сплайном над ∆ тогда и только тогда, когда y - непрерывная кусочно-линейная функция от t, график которой состоит из (k + 1) прямолинейных отрезков, расположенных над (k + 1) интервалами соответственно [13]. Пусть изначально мы имеем модель вида . Теперь предположим, что в модели имеется k структурных изменений. Тогда наша модель примет вид , (3) где Коэффициент β1 представляет собой угловой коэффициент сплайна над первым интервалом, а каждый из следующих коэффициентов βj (j = 2, 3, …, k + 1) дает изменение углового коэффициента при переходе от интервала (j - 1) к интервалу j соответственно. Если βj = 0, то коэффициенты наклона над (j - 1) и j интервалами одинаковы, и тот факт, что βj ≠ 0, вполне согласуется с представлением о том, что в точке происходит структурное изменение. Таким образом, проверка гипотезы о структурной стабильности сводится к проверке на равенство нулю параметров βj уравнения (3). Фактически необходимо проверить гипотезы о значимости данных параметров, используя F-критерий. Результаты вычислительных экспериментов Исследование мощности проводилось на основе методики Монте-Карло, активно используемой при решении аналогичных задач [14-19]. Мощность критерия относительно определенной альтернативы есть вероятность непринятия нулевой гипотезы в случае, когда на самом деле верна альтернативная гипотеза. В нашем случае гипотеза о структурной стабильности имеет вид :{временной ряд структурно нестабилен}. Алгоритм вычисления мощности критериев методом Монте-Карло: 1. Установить критическое значение tα для заданного уровня значимости α. 2. Установить m = 0. 3. Сгенерировать выборку Yn при верной гипотезе . 4. Вычислить значение S (Yn). 5. Если S (Yn) попадает в критическую область Wα с заданным уровнем значимости α, то m = m + 1. 6. Повторять шаги 3-5 N раз. Так как критерий Фишера является правосторонним, то мощность равна m/N. Рассмотрим 3 варианта того, как может измениться тенденция временного ряда и как в этом случае будет выглядеть кусочная модель. В первом случае моделирование данных происходило таким образом, чтобы график второй модели получался путем сдвига графика первой модели вдоль оси OY. Этот случай представлен на рис. 1 (в данном случае ∆θ будет означать величину сдвига). Рис. 1. Характер тенденции временного ряда 1 типа Во втором случае моделирование данных происходило таким образом, чтобы график второй модели получался путем изменения тенденции первой модели на некоторый угол ∆θ. Этот случай представлен на рис. 2. Рис. 2. Характер тенденции временного ряда 2 типа В третьем случае моделирование происходило так, чтобы график второй модели получался путем изменения тенденции первой модели на некоторый угол ∆θ и одновременно с этим происходил параллельный сдвиг графика первой модели вдоль оси OY. Этот случай представлен на рис. 3. Рис. 3. Характер тенденции временного ряда 3 типа При моделировании случайная ошибка моделировалась по стандартному нормальному закону распределения. Проанализировав мощности критериев для трех случаев, мы видим, что в первом случае наиболее высокой мощностью обладает критерий Чоу, однако критерий Гуджарати лишь немного уступает в мощности (рис. 4). Рис. 4. Мощность критериев для тенденции 1 типа Во втором случае наиболее мощным оказался критерий Пуарье, а критерий Чоу, наоборот, показал самую низкую мощность (рис. 5). Рис. 5. Мощность критериев для тенденции 2 типа В третьем случае наибольшую мощность также показал критерий Пуарье (рис. 6). Рис. 6. Мощность критериев для тенденции 3 типа Все оценки мощности критериев вычислялись при количестве повторений метода Монте-Карло, равном 1 000 итераций. Заключение В ходе работы были рассмотрены критерии Чоу, Гуджарати и Пуарье, проведено исследование мощности данных критериев. В результате сравнения мощности критериев пришли к выводу, что в первом случае наиболее высокой мощностью обладает критерий Чоу, однако критерий Гуджарати лишь незначительно уступает в мощности. В двух других случаях изменения тенденции временного ряда наиболее мощным оказался критерий Пуарье.